Las 5 preguntas del modelo orientativo de las universidades públicas de Madrid, con todas sus opciones y la resolución explicada, los errores típicos y cómo se puntúa.
Fuente: el enunciado y el documento de soluciones orientativo son de las universidades públicas de Madrid; los tienes en el PDF oficial y en el portal de la UAM. Esta es nuestra resolución, pensada para estudiar: no sustituye al documento oficial.
Dos rectas r y s se cortan perpendicularmente en C. r pasa por P(1,0,2) y Q(0,2,4); s pasa por A(0,4,2) y C.
a) Plano y punto C. El plano π contiene a r y a s, luego contiene a P, Q y A. Vectores: PQ = (−1, 2, 2) y PA = (−1, 4, 0). Su producto vectorial da un vector normal proporcional a (4, 1, 1); con P: 4x + y + z = 6. Comprobación: Q (0+2+4 = 6) y A (0+4+2 = 6) cumplen la ecuación.
C está en r: C = P + t·(−1, 2, 2) = (1−t, 2t, 2+2t), y AC debe ser perpendicular a r: AC = (1−t, 2t−4, 2t). AC·(−1, 2, 2) = −(1−t) + 2(2t−4) + 2(2t) = 9t − 9 = 0, así que t = 1 y C = (0, 2, 4), que coincide con Q.
b) Punto R de s con d(R,Q) = d(P,Q). d(P,Q) = |PQ| = √(1+4+4) = 3. La recta s pasa por C = Q con dirección CA = (0, 2, −2), unitario (0, 1, −1)/√2. Los puntos a distancia 3 de Q sobre s son Q ± 3·(0, 1, −1)/√2.
π: 4x + y + z = 6; C = (0, 2, 4). R = (0, 2 + 3√2/2, 4 − 3√2/2) o R = (0, 2 − 3√2/2, 4 + 3√2/2).
Error típico: olvidar que C resulta ser Q y no darse cuenta de que hay dos puntos R, no uno.
f(x) = (eˣ − 1)/(eˣ + 1).
a) Asíntotas horizontales. Cuando x → +∞, eˣ domina y el cociente tiende a 1. Cuando x → −∞, eˣ → 0 y el cociente tiende a (−1)/1 = −1.
b) Integral. f(x) + 1 = (2eˣ)/(eˣ + 1), cuya primitiva es 2·ln(eˣ + 1) (el numerador es la derivada del denominador). Por Barrow entre 0 y ln 3: 2·ln(3 + 1) − 2·ln(1 + 1) = 2·ln 4 − 2·ln 2 = 2·ln 2.
Asíntotas y = 1 e y = −1. Integral = 2 ln 2.
Error típico: dar solo una asíntota horizontal: hay que calcular los dos límites, en +∞ y en −∞.
Probabilidades de coger L1, L2, L3: 2/3, 4/5 y 3/5, sucesos independientes.
a) Llegar a tiempo. Es coger al menos una línea, así que se calcula con el suceso contrario: perder las tres = (1/3)·(1/5)·(2/5) = 2/75. Entonces P = 1 − 2/75 = 73/75.
b1) No coger L2 sabiendo que solo se puede coger una de L1 y L3. Por independencia, lo que ocurra con L1 y L3 no influye en L2, por lo que P(no L2) = 1 − 4/5 = 1/5. Con la fórmula de la probabilidad condicionada: (7/75)/(7/15) = 1/5.
b2) Coger exactamente dos líneas. Se suman los tres casos: (2/3)(4/5)(2/5) + (2/3)(1/5)(3/5) + (1/3)(4/5)(3/5) = 16/75 + 6/75 + 12/75 = 34/75.
a) 73/75 · b1) 1/5 · b2) 34/75.
Error típico: sumar probabilidades de sucesos que no son excluyentes en el apartado a, en vez de pasar al suceso contrario.
Sistema (a+2)x + y + z = a; x − ay + 3z = 0; 3x + ay + z = 1.
a) Discusión. El determinante de la matriz de coeficientes es −4a² − 4a + 8 = −4(a − 1)(a + 2). Si a ≠ 1 y a ≠ −2, el rango es 3: compatible determinado. Para a = 1 los rangos de la matriz y la ampliada valen 2 (< 3 incógnitas): compatible indeterminado. Para a = −2 el rango de la matriz es 2 y el de la ampliada es 3: incompatible.
b) a = 1. Queda 3x + y + z = 1, x − y + 3z = 0 (la tercera repite la primera). Sumando: 4x + 4z = 1, luego x = 1/4 − z, e y = 1 − 3x − z = 1 − 3/4 + 3z − z = 1/4 + 2z. Con z = λ: (1/4 − λ, 1/4 + 2λ, λ).
a ≠ 1, −2: SCD · a = 1: SCI · a = −2: SI. Para a = 1: (1/4 − λ, 1/4 + 2λ, λ), λ ∈ ℝ.
Error típico: dar por incompatible el caso a = 1 sin comparar el rango de la matriz con el de la ampliada.
A = [[a,1,0],[1,a,1],[0,1,a]].
a) A²⁰²⁶ invertible. det A = a³ − 2a = a(a² − 2) ≠ 0 si a ≠ 0, √2, −√2. Como det(A²⁰²⁶) = (det A)²⁰²⁶, la potencia es invertible exactamente para esos mismos valores.
b) a = 0. Calculando, A² = [[1,0,1],[0,2,0],[1,0,1]] y A³ = [[0,2,0],[2,0,2],[0,2,0]] = 2A. Entonces A⁹ = (A³)³ = (2A)³ = 8A³ = 16A.
A²⁰²⁶ es invertible si a ∉ {0, √2, −√2}. A⁹ = 16A = [[0,16,0],[16,0,16],[0,16,0]].
Error típico: intentar multiplicar A nueve veces en vez de usar A³ = 2A.
f(x) = 2x + 2 en [0,2]; ax² + bx en (2,5); −(x−5)² + 15 en [5,7].
a) Continuidad. En x = 2: 2·2 + 2 = 6 = 4a + 2b. En x = 5: −0 + 15 = 15 = 25a + 5b. Resolviendo el sistema, a = 0 y b = 3.
b) Longitud en [0,2]. Allí f'(x) = 2, así que L = ∫₀² √(1 + 2²) dx = ∫₀² √5 dx = 2√5.
a = 0, b = 3. L = 2√5.
Error típico: olvidar que hay que imponer la continuidad en los dos puntos, x = 2 y x = 5.
f(x) = (−2x + 1)/(x − 1).
a) Crecimiento. f'(x) = [−2(x − 1) − (−2x + 1)]/(x − 1)² = 1/(x − 1)², siempre positiva (x ≠ 1). Es creciente en (−∞, 1) y en (1, ∞).
b) Pendiente 1. 1/(x − 1)² = 1 ⇒ (x − 1)² = 1 ⇒ x = 0 o x = 2. f(0) = −1 y f(2) = −3.
Creciente en (−∞, 1) y (1, ∞). Puntos (0, −1) y (2, −3).
Error típico: unir los dos intervalos en uno solo: la función no está definida en x = 1.
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En el portal de la UAM, en «Modelos de examen 2027», y en el de la UCM. El de las universidades públicas de Madrid es un modelo orientativo del curso 2026-2027.
Son 5 preguntas de 2 puntos y 90 minutos: tres obligatorias (geometría, análisis y probabilidad) y dos a elegir entre dos opciones (álgebra y análisis). Todas las respuestas deben estar justificadas.
No. Es la resolución paso a paso de ProfeQuino. Las universidades publican un documento de soluciones orientativo; aquí las explicamos con más detalle y señalamos errores típicos. Los resultados coinciden con el documento oficial.