Apuntes Matemáticas II PAU 2027

Unidad 5 — Optimización: problemas de máximos y mínimos

Lo que te van a preguntar: un problema de contexto (geometría, economía, física) en el que hay que encontrar el valor que maximiza o minimiza una magnitud.

Datos clave

• Todo problema de optimización sigue el mismo esquema: función objetivo (lo que quieres maximizar/minimizar) + restricción (una relación entre las variables que permite dejar la función objetivo en una sola variable).
• Pasos: (1) identificar la magnitud a optimizar y escribirla como función de dos variables; (2) usar la restricción del enunciado para despejar una variable en función de la otra; (3) sustituir para obtener una función de una sola variable; (4) derivar, igualar a 0 y resolver; (5) comprobar con la segunda derivada (o el signo de f') que es máximo o mínimo, según pida el problema; (6) responder con las unidades y el contexto del enunciado.
• El dominio de la variable suele estar limitado por el contexto: comprobar siempre que la solución obtenida tiene sentido dentro de ese dominio.

Por qué cae

Es de las preguntas de mayor puntuación en el bloque de Análisis porque combina planteamiento y cálculo: la parte de planteamiento es la que más diferencia a los alumnos.

Truco PAU

Dibuja siempre un esquema o figura del problema antes de escribir ninguna ecuación, aunque el enunciado no lo pida explícitamente.

Error típico

Olvidar comprobar si el valor obtenido es un máximo o un mínimo. El planteamiento correcto sin esta comprobación final no está completo y suele penalizarse en la rúbrica.

Unidad 12 — Discusión de sistemas con parámetro (teorema de Rouché-Frobenius)

Lo que te van a preguntar: discutir, según los valores de un parámetro "a" o "m", si un sistema es compatible determinado, indeterminado o incompatible.

Datos clave

• Teorema de Rouché-Frobenius: un sistema es compatible si y solo si el rango de la matriz de coeficientes (A) coincide con el rango de la matriz ampliada (A|b). Si además ese rango coincide con el número de incógnitas, es compatible determinado; si es menor, compatible indeterminado.
• Procedimiento habitual: calcular el determinante de la matriz de coeficientes en función del parámetro, e igualarlo a 0 para encontrar los valores "críticos" del parámetro.
• Para cada valor crítico del parámetro, hay que estudiar por separado el rango de A y de la matriz ampliada.

Por qué cae

Es una de las preguntas de álgebra con más puntuación de todo el examen.

Truco PAU

Organiza siempre la respuesta en una tabla de casos (valor del parámetro → rango de A → rango de A|b → clasificación).

Error típico

Olvidar estudiar alguno de los valores críticos del parámetro, dejando la discusión incompleta.

Unidad 19 — Distribución normal

Lo que te van a preguntar: calcular probabilidades en una distribución normal N(μ,σ), tipificando la variable y usando la tabla de la N(0,1).

Datos clave

• La distribución normal N(μ,σ) se tipifica con Z = (X-μ)/σ, transformándola en la normal estándar N(0,1), la única que aparece en las tablas de probabilidad.
• La tabla de la N(0,1) da directamente P(Z≤z) para valores positivos de z.
• Propiedades de simetría necesarias para valores negativos: P(Z≤-z) = 1 - P(Z≤z); P(Z≥z) = 1 - P(Z≤z).

Por qué cae

Es, con diferencia, la pregunta de probabilidad más repetida en toda la PAU de Matemáticas en España.

Truco PAU

Dibuja siempre la campana de Gauss con el valor de z marcado y sombrea la zona de probabilidad que te piden.

Error típico

Olvidar aplicar la propiedad de simetría cuando z es negativo.